%% This document created by Scientific Word (R) Version 3.0

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\lhead{ \Large{EXERCICES MPSI}}\chead{ \LARGE {A1.I. LOGIQUE}} \rhead {\Large{R. FERRÉOL  16/17}}
\begin{document}

\begin{enumerate}
\item : Convertir en langage formalis\'{e} ; donner la n\'{e}gation, en
fran\c{c}ais et en langage formalis\'{e} ; puis d\'{e}montrer ou infirmer
l'\'{e}nonc\'{e} (sauf (a) et (d)) ; on pourra noter $\mathbb{P}$ l'ensemble
des nombres premiers.

\begin{enumerate}
\item Tout entier naturel est somme de 4 carr\'{e}s.

\item Tout nombre premier $\geqslant3$ est du type $4n-1$ ou $4n+1$.

\item Tout entier naturel du type $4n-1$ est premier.

\item $a$ est un multiple de $b$ ($a$ et $b$ sont deux entiers donn\'{e}s).

\item Tout multiple de 4 et 6 est multiple de 24.

\item Tout nombre complexe poss\`{e}de au moins une racine $n^{i\grave{e}me}$,
quel que soit l'entier $n>0$.
\end{enumerate}

\item Soit $\left(  u_{n}\right)  _{n\in\mathbb{N}}$ une suite num\'{e}rique ;
\'{e}crire en langage formalis\'{e} :%
\[%
\begin{tabular}
[c]{|l|l|}\hline
a. $u_{n}$ est toujours nul & a$^{\prime}$. $u_{n}$ est toujours non
nul\\\hline
b. $u_{n}$ est nul \`{a} partir d'un certain rang & b$^{\prime}$. $u_{n}$ est
non nul \`{a} partir d'un certain rang\\\hline
c. $u_{n}$ est nul une infinit\'{e} de fois & c$^{\prime}$. $u_{n}$ est non
nul une infinit\'{e} de fois\\\hline
d. $u_{n}$ est nul au moins une fois & d$^{\prime}$. $u_{n}$ est non nul au
moins une fois\\\hline
\end{tabular}
\ \
\]


N\'{e}gations de ces \'{e}nonc\'{e}s ? Y-a-t-il des implications entre eux ?

\item :

\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer que l'oppos\'{e} et l'inverse d'un irrationnel sont des irrationnels

\item D\'{e}montrer que la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est un irrationnel.

\item Que dire :

\begin{enumerate}
\item du produit d'un rationnel non nul par un irrationnel ?

\item de la somme de deux irrationnels positifs ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item : $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ est-il rationnel ?

\item : $\log2$ est-il rationnel ($\log2$ est d\'{e}fni par 10$^{\log2}=2)$?

\item *: Soient  $n$ et $m$ deux entiers naturels.

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $n$ n'est pas un carr\'{e}, $\sqrt{n}$ est irrationnel. 

\item Montrer que si $\sqrt{n}+\sqrt{m}$ est rationnel, alors $\sqrt{n}%
-\sqrt{m}$ \'{e}galement.

\item En d\'{e}duire que si l'un au moins parmi $n$ et $m$ n'est pas un
carr\'{e}, alors $\sqrt{n}+\sqrt{m}$ est irrationnel.
\end{enumerate}

\item : Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et$\overrightarrow{v}$ sont dits
colin\'{e}aires ssi
\[
\exists\left(  \alpha,\beta\right)  \in\mathbb{R}^{2}\backslash\left\{
\left(  0,0\right)  \right\}  \ \ \ \ /\ \ \alpha\overrightarrow{u}%
+\beta\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}%
\]
Soit l'\'{e}nonc\'{e} :$\exists\lambda\in\mathbb{R}\quad\overrightarrow
{u}=\lambda\overrightarrow{v}$ . Montrer qu'il ne s'agit pas d'une condition
n\'{e}cessaire et suffisante de colin\'{e}arit\'{e} et le modifier pour qu'il
en soit une.

\item : D\'{e}terminer et dessiner l'ensemble des points $M$ de
coordonn\'{e}es $\left(  x,y\right)  $ dans le plan, d\'{e}fini par :

\begin{enumerate}
\item $xy\left(  \left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert -1\right)
=0$

\item $\left(  x^{2}-y^{2}\right)  \left(  \left\vert x\right\vert -\left\vert
y\right\vert -1\right)  =0$

\item $\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert \neq1\Rightarrow
xy=0.$
\end{enumerate}

\item :\ D\'{e}montrer que si $n$ nombres r\'{e}els ($n\geqslant2$) ont une
somme non nulle, alors pour tout entier $p$ tel que $2\leqslant p\leqslant n$,
il existe $p$ de ces nombres dont la somme est non nulle.

\item * : Si $P$ est un \'{e}nonc\'{e}, on pose $V\left(  P\right)  =1$ si $P$
est vraie, et $V\left(  P\right)  =0$ si $P$ est fausse.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer en fonction de $p=V\left(  P\right)  $ et de $q=V\left(
Q\right)  $ : $V\left(  \text{non }P\right)  $ et $V\left(  P\text{ et
}Q\right)  .$

\item En d\'{e}duire par le calcul : $V\left(  P\text{ ou }Q\right)  $ (ou
inclusif), $V\left(  P\text{ }\Rightarrow\text{ }Q\right)  ,V\left(  P\text{
}\Leftrightarrow\text{ }Q\right)  ,V\left(  \text{soit }P\text{ soit
}Q\right)  $ (ou exclusif) sous la forme la plus simple. Que remarque-t-on
pour les deux derniers ?
\end{enumerate}

\item * : On dit qu'un point $M$ du plan "se projette" sur un segment $[AB]$
s'il existe un point $H$ du segment $[AB]$ avec $[MH]$ perpendiculaire \`{a}
$[AB].$

On consid\`{e}re un polygone convexe. Les \'{e}nonc\'{e} suivants sont-ils
vrais ou faux ?

\begin{enumerate}
\item Tout point int\'{e}rieur au polygone se projette sur un c\^{o}t\'{e} au moins.

\item Il y a au moins un point int\'{e}rieur au polygone qui se projette sur
tous les c\^{o}t\'{e}s.

\item Tout point de tout c\^{o}t\'{e} du polygone est le projet\'{e} d'au
moins un point int\'{e}rieur au polygone.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}